Pregunta: Hola Pablo, ¿Me podrías dar una definición del concepto de derivada?Es que en cada sitio encuentro una definición distinta y no sé cual es la correcta.

Pablo Hidalgo Palencia contestada el 18 Mar 2022:

¡Hola! Pues me parece raro que hayas encontrado diferentes definiciones en diferentes sitios… la verdad que es una definición totalmente estandarizada y que no tiene controversia (aunque es verdad que a lo mejor, si has buscado en internet, has encontrado versiones más generales de la derivada -es decir, «derivadas» que funcionan para casos más difíciles que los que se tratan en el instituto-… y eso a lo mejor lía (¿?)).

Pero bueno, yendo al grano: si tenemos una función f : R –> R (es decir, una función que, dado un número real, calcula otro número real, como todas las del instituto), entonces su derivada en un punto x es simplemente f'(x) = lim {cuando h -> 0} (f(x+h)-f(x))/h. Esa es la definición, la puedes consultar en cualquier sitio (por ejemplo, en la wikipedia: https://es.wikipedia.org/wiki/Derivada#L%C3%ADmite_como_cociente_de_diferencias) probablemente con un formato más bonito para escribir matemáticas que este.

La interpretación de la derivada a lo mejor la conoces ya, pero básicamente lo que nos indica es cómo varía la función f cerca del punto x (valores más grandes de f'(x) indicarán que la función f crece más rápido cuando llega al punto x, y viceversa). Por ejemplo, si f(t) es una función que nos indica nuestra posición (dónde estamos en cada instante de tiempo t), entonces f'(t) refleja a qué velocidad nos estamos moviendo en el instante t.

Esto nos ayuda a sacar un montón de fórmulas de física, por ejemplo: si algo se está moviendo siguiendo un MRUA, su posición puede venir descrita por f(t) = 3 – 5 * t + 1/2 * 7 * t^2 (3 sería la posición inicial, -5 la velocidad inicial y 7 su aceleración). Entonces, la velocidad de ese objeto será simplemente su derivada: f'(t) = -5 + 7 * t. Si en vez de usar números concretos hubiéramos usado letras s_0, v_0, a, habríamos deducido una de las fórmulas del MRUA simplemente sabiendo lo que significa una derivada.

Pero bueno, dado que solo preguntabas por la definición de derivada, no me enrollo más: simplemente es lo que he puesto en el segundo párrafo, y es una definición que todo el mundo acepta 🙂