Pregunta: De que trata el analisis matematico?

Pablo Hidalgo Palencia contestada el 11 Mar 2022:

En cierto modo, el análisis matemático es la rama de las matemáticas que intenta lidiar con el concepto de infinito. En análisis, se intenta trabajar con cosas que son infinitamente grandes o infinitamente pequeñas, para poder llegar a nuevas conclusiones.

Por ejemplo, nos podemos plantear qué es una suma con infinitos sumandos… y puede que acabemos llegando al concepto de integral. O nos podríamos plantear cómo varía una cantidad (la velocidad de nuestra bicicleta, por ejemplo) yéndonos al más infinitamente pequeño detalle (sin conformarnos con obtener «algunos decimales de precisión», sino conseguir una expresión exacta de la variación)… y acabaríamos llegando al concepto de derivada. O podríamos plantearnos qué ocurre si repito algo una y otra vez, sin parar (por ejemplo, si cada vez que tengo un segmento, elimino su parte central; y con los segmentos que obtengo, vuelvo a eliminar su parte central… y así sucesivamente -buscar «Conjunto de Cantor»-)… y acabaríamos llegando al concepto de límite, o de fractal quizá. Y sabiendo que hay espacios bidimensionales (un folio), tridimensionales (nuestro mundo), tetradimensionales (si consideramos el tiempo)… ¿por qué no pensar qué pasa en espacios con infinitas dimensiones? Pues realmente se puede, y ha demostrado ser francamente útil.

Todos estos conceptos son básicos en el análisis matemático, y son los que lo diferencian: siempre acabamos «yendo al límite» y explorando qué sucede si continuamos haciendo algo infinitas veces, o refinando hasta conseguir una precisión infinitamente pequeña. Y esta estrategia ¡cosecha muy buenos resultados!

Resulta que el análisis matemático acaba siendo el lenguaje de trabajo de muchas ciencias: básicamente todas los fenómenos de la naturaleza que acaban modelizando los físicos, químicos… usan ecuaciones con derivadas e integrales. Y bueno, por poner otras influencias, todos los procesos económicos, big data… realmente están fuertemente basados en la teoría de probabilidad y estadística, que no dejan de ser interpretaciones del análisis matemático.

También es interesante comentar que somos conscientes de las propias dificultades de nuestros métodos: en el mundo real, eso de «ir al límite»… pues no es posible. Por ejemplo, si trabajamos con ordenadores, nuestros recursos están limitados, no podemos conseguir precisión infinita. Y para eso está el análisis numérico (otra subrama del análisis matemático), por ejemplo, que trata de ver cómo conseguir los resultados más precisos posibles a ciertos cálculos teniendo en cuenta las restricciones de recursos.

Al fin y al cabo, el análisis matemático, como ves, es una rama amplísima (fíjate en la cantidad de personas que han trabajado en ello que desde que Newton y Leibniz empezaron a trabajarlo allá por el siglo XVII… y que los teoremas matemáticos «no caducan»). Hay gente trabajando en espacios de infinitas dimensiones, en ecuaciones diferenciales (las de la física, por ejemplo), en análisis numérico, en análisis de Fourier (muy relacionado con entender las frecuencias sonoras), en física matemática, en probabilidad… ¡y tantas otras subramas! Pero creo que el denominador común de todas ellas es lo que comentaba antes, «ir al límite», intentar «llegar al infinito» de alguna forma.